Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2+m-1\right)x+1\) đạt cực trị tại 2 điểm x1,x2 thõa mãn : \(\left|x_1+x_2\right|=4\)
Tìm m để hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^2-mx^2+mx-1\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m\in D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) (*)
Với điều kiện này thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m\) Suy ra :
\(\left|x_1-x_2\right|\ge8\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|^2\ge64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge64\Leftrightarrow4m^2-4m\ge64\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-16\ge0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\) (thỏa mãn (*))
Vậy để \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\) thì \(m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\)
tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai parabol \(y=x^2+mx+\left(m+1\right)^2\) và \(y=-x^2-\left(m+2\right)x-2\left(m+1\right)\) cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(P=\left|x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)\right|\) đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2=-x^2-\left(m+2\right)x-2\left(m+1\right)\)
=>\(x^2+mx+\left(m+1\right)^2+x^2+\left(m+2\right)x+2\left(m+1\right)=0\)
=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+2\left(m+1\right)+\left(m+1\right)^2=0\)
=>\(2x^2+\left(2m+2\right)x+\left(m^2+4m+3\right)=0\)
\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m^2+4m+3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-8m^2-32m-24\)
\(=-4m^2-24m-20\)
\(=-4\left(m^2+6m+5\right)=-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)\)
Để (P1) cắt (P2) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0
=>\(-4\left(m+1\right)\left(m+5\right)>0\)
=>\(\left(m+1\right)\left(m+5\right)< 0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m+5< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m< -5\end{matrix}\right.\)
=>Loại
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< 0\\m+5>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -1\\m>-5\end{matrix}\right.\)
=>-5<m<-1
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(2m+2\right)}{2}=-m-1;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4m+3}{2}\)
\(P=\left|x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)\right|\)
\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}-3\left(-m-1\right)\right|\)
\(=\left|\dfrac{m^2+4m+3}{2}+3m+3\right|\)
\(=\dfrac{\left|m^2+4m+3+6m+6\right|}{2}=\dfrac{\left|m^2+10m+9\right|}{2}\)
Biểu thức này không có giá trị lớn nhất nha bạn
Cho hàm số \(y=x^3-2\left(m-1\right)x^2+9x+2-m\) (1)
Tìm m ( \(m\in R\) để hàm số (1) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|=2\)
Ta có \(y'=3x^2-4\left(m-1\right)x+9\)
y' là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) khi và ch ỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-27>0\) \(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}m>1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\\m<1-\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{cases}\) (1)
Theo Viet \(x_1+x_2=\frac{4\left(m-1\right)}{3}\); \(x_1x_2=3\)
Khi đó \(\left|x_1-x_2\right|=2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{16\left(m-1\right)^2}{9}-12=4\)
Cho ptr x2-2(m+1)x-m-5=0 Tìm m để ptr có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(\left(x_1-x_2\right)^2-x_1\left(x_1+3\right)-x_2\left(x_2+3\right)=-4\)
Δ=(2m+2)^2-4(-m-5)
=4m^2+8m+4+4m+20
=4m^2+12m+24
=4(m^2+3m+6)
=4(m^2+2*m*3/2+9/4+15/4)
=4(m+3/2)^2+15>=15
=>PT luôn có 2 nghiệm
(x1-x2)^2-x1(x1+3)-x2(x2+3)=-4
=>(x1+x2)^2-4x1x2-(x1+x2)^2+2x1x2-3(x1+x2)=-4
=>-2(-m-5)-3(2m+2)=-4
=>2m+10-6m-6=-4
=>-4m+4=-4
=>-4m=-8
=>m=2
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
Cho PT x^3 + x -m -1 = 0 có hai nhiệm x1,x2 thỏa mãn \(\frac{x_1^3-\left(m+2\right)x_1}{x_1^2+1}+\frac{x_2^3-\left(m+2\right)x_2}{x_2^2+1}=-1\)tìm các giá trị của m
Cho hàm số \(y=x^3-3\left(m+1\right)x^2+9x-m\) (1) với m là tham số thực
Xác định m để hàm số (1) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\le2\)
Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1,x_2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2\left(m+1\right)x+3=0\) có hai nghiệm phân biêt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\Leftrightarrow\begin{cases}m>-1+\sqrt{3}\\m<-1-\sqrt{3}\end{cases}\) (1)Theo định lí Viet ta có \(x_1+x_2=2\left(m+1\right)\) \(x_1,x_2=3\)Khi đó \(\left|x_1-x_2\right|\le2\) \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le4\) \(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-12\le4\) \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\le4\) \(\Leftrightarrow-3\le m\)\(\le1\) (2)Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là \(-3\le m<-1-\sqrt{3}\) và\(-1+\sqrt{3}\)<m\(\le1\)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(x^2-\left(m-1\right)x+\left(m+3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+3\right)=m^2-6m-11>0\) (1)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+3\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(m-1\right)^2-2\left(m+3\right)=m^2-4m-5\)
Biểu thức này ko tồn tại cả min lẫn max với điều kiện m từ (1)
Cho ptr x2-2(m+1)x-m-5=0 Tìm m để ptr có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn